Урало-Сибирская научно-практическая конференция

Концепции экономико-математического моделирования
транспортных логистических операций

А.В. Вохмянина, М.В. Самуйлов

Уральский государственный университет путей сообщения
620034,  г. Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66

Для логистики характерно наличие многочисленных подходов, концепций или научных направлений. Они нацелены на исследование разнообразных проблем, пред ними стоят различные задачи. Однако решение всех разнокачественных задач должно приводить к достижению одной цели. 

Важное научное направление логистики – это использование современной вычислительной техники и математических методов для оптимизации экономических процессов и углубленного анализа количественных зависимостей между элементами логистики. С этой целью разрабатываются и внедряются в практику разнообразные экономико-математические модели.

В логистике чаще всего используются линейные экономико-математические модели. Линейная модель – это модель, отображающая состояние или функционирование системы, таким образом, что взаимозависимость всех элементов может формулироваться в виде одного линейного уравнения или системы линейных уравнений. Линейные модели очень удобны и просты, однако линейные модели обладают ограниченностью в том, что касается отображения с их помощью реальных логистических процессов и операций. В реальной действительности все системы нелинейны.

Нелинейная система – это система, которая характеризуется тем, что все или некоторые преобразования, связывающие входные величины, параметры состояния и выходные величины, являются нелинейными, т.е. описываются выпуклыми или вогнутыми функциями переменных, непрерывными или имеющими разрывы.   

Непрерывные функции цели используются для задач прогнозирования, оперативного планирования и управления. Логистика должна обеспечивать достижение оптимальной, то есть наилучшей с точки зрения определенных критериев и ограничений, цели предприятия. С точки зрения математики – оптимум функции – это такое ее экстремальное значение, которое больше других значений той же функции.

Наиболее простыми являются задачи без ограничений или с ограничениями, каждое из которых относится только к одной переменной. Для нахождения оптимума (точки экстремума) целевая функция дифференцируется по каждой переменной, и первые производные приравниваются нулю. Если окажется, что максимум полезного эффекта (или минимум издержек) получается вне пределов допустимого интервала значений конкретной переменной, то в качестве оптимального значения принимается ближайшая к максимуму (минимуму) граница интервала.   

К этому виду нелинейных задач относится задача управления складскими запасами: исходя из каждой конкретной ситуации, формулируется функция издержек на закупку и хранения материалов и комплектующих. Первая производная этой функции, приравненная нулю, дает минимальную сумму издержек. Решение нелинейных задач значительно усложняется, если при наличии многих переменных изменяются общие ограничения на эти переменные. Для простейших задач с незначительным числом ограничений можно использовать метод кусочно-линейных приближений, который заключается в использовании элементарных приемов коррекции на каждом шаге оптимизации с повторным нахождением экстремальных точек. Этот метод может быть использован для нахождения интервалов поставок при заданном ограничении, например, размера оборотных средств предприятия. Эта же задача решается также методом выпуклого программирования. Общая задача выпуклого программирования – отыскание вектора, который доставляет минимум выпуклой функции или максимум вогнутой функции. Выпуклость (вогнутость) важна тем, что гарантирует нахождение оптимального решения задачи, так как локальные и глобальный экстремумы здесь совпадают. Критериями оптимальности в первом случае могут быть, например, издержки при различных сочетаниях факторов производства, во втором – величина прибыли при этих сочетаниях.   

Для транспорта важнейшей нелинейной моделью является нелинейная сетевая транспортная задача. При высоком заполнении пропускной способности зависящие от движения издержки возрастают быстрее, чем величина потока, то есть они становятся нелинейной функцией размеров движения.

Очевидно большое сходство между задачами нелинейного и линейного программирования. Но нелинейность зависимостей и функций делает задачу намного реалистичнее и сложнее. Нелинейные модели, кроме вышеописанных примеров, могут использоваться при выборе местоположения предприятия, транспортных маршрутов или поставщиков и потребителей. При помощи метода выпуклого программирования выбирается оптимальный для перевозки конкретного груза вид транспорта.