Важнейшие результаты научных исследований за 2007 г. Математика, механика, информатика.

Алгебра, теория чисел, математическая логика
 

Завершено описание максимальных 2-сигнализаторов в конечных простых группах. Доказано, что если G — конечная простая симплектическая или ортогональная группа и P — силовская 2-подгруппа в G, то множество всех максимальных P-инвариантных подгрупп нечетного порядка из G одноэлементно. Ранее это множество было описано только для группы G, отличной от симплектической и ортогональной.
 

Дальнейшее развитие получила теория графов. Доказано, что дистанционно регулярный граф, в котором окрестности вершин изоморфны графу Хоффмана-Синглтона, является графом Тервиллигера. Доказано, что вполне регулярный граф с µ=16, в котором окрестности вершин изоморфны графу Грассмана J_q(n,2), является графом Тэйлора на 72 вершинах.
 

Сформулированы гипотезы о диаграммах Юнга, отвечающих двум неприводимым характерам симметрической группы S_n, имеющим равные множества корней на знакопеременной группе A_n или на S_n -A_n. Доказана их справедливость при условии, что длина главной диагонали одной из диаграмм Юнга не больше 2. (Институт математики и механики).
 

Геометрия и топология
 

Получено удовлетворительное "прямое" определение "экзотического" инварианта для 6-мерных многообразий, построенного (непрямым образом) в предшествующих работах. В рамках этого построения удалось доказать три (из четырех) формальных свойств, однозначно характеризующих данный инвариант. (Отдел математики Коми НЦ).
 

Математический анализ
 

Получена оценка снизу констант Лебега в пространстве L_φ^r сумм Фурье по тригонометрическим полиномам, ортогональным с весом φ, удовлетворяющим условию Сеге. При этом, в случае веса φ с особенностью типа t^αω^β(t), где ω(t)— вогнутый модуль непрерывности, найден точный порядок этих констант. Результаты превосходят мировой уровень и полезны для учета влияния погрешности в исходных данных на погрешность аппроксимации. Получено существенное обобщение на более широкий класс областей из Rⁿ теоремы Ф.Джона об устойчивости изометрических преобразований областей. Даны количественные оценки меры устойчивости. Задачи, решаемые теоремой Джона, связаны с теорией пластичности. Метод, развитый при обобщении данной теоремы, может оказаться применимым в таких областях как теоремы вложения, краевые задачи, устойчивость конформных отображений и др.
 

Построены аналитические и гармонические базисы всплесков в пространствах типа Харди для неконцентрического кольца. Результаты использованы для решения краевых задач Дирихле и Пуассона. При этом в случае малого внутреннего отверстия получены асимптотические разложения решения по этому параметру, существенно более простые, чем известные в общей ситуации.
 

Исследованы классические неравенства для тригонометрических полиномов относительно функционалов типа φ-нормы с произвольной неотрицательной, неубывающей функцией φ. Для произвольного линейного оператора в пространстве тригонометрических полиномов найдена функция φ, относительно которой «норма» оператора будет наибольшей. Дано окончательное решение задачи о полиномах, наименее уклоняющихся от нуля относительно этих функционалов. (Институт математики и механики).
 

Математическое моделирование.
 

Разработан метод получения эффективных характеристик композиционных материалов в одномерном и двумерном случаях, основанный на совместном использовании метода конечных элементов и вейвлет-преобразования Хаара. Исследована эффективность и структура вычислительных затрат алгоритма вейвлет-осреднения, получены осредненные решения одномерных и двумерных эллиптических дифференциальных уравнений. (Институт прикладной механики).
 

Математическая физика
 

Предложена формулировка электрослабой модели с трехмерной сферической геометрией в пространстве полей материи, в которой автоматически генерируются массы W- и Z-бозонов и не содержится хиггсовский бозон. (Отдел математики Коми НЦ).
 

В рамках статистической динамической теории дифракции впервые разработана теория и получены уравнения, описывающие рассеяние рентгеновских лучей в нанопористых кристаллах. Проведено численное моделирование рассеяния от структур с разной самоорганизацией латеральной упорядоченности пор. (Отдел математики Коми НЦ).
 

Физика конденсированных сред
 

С использованием оригинального метода исследования свойств материалов, основанного на совмещении инфракрасного сканирования с циклическим нагружением образцов, экспериментально установлена аномалия поглощения энергии нанокристаллическим титаном, обусловленная особенностями коллективных свойств ансамбля зернограничных дефектов в материалах с ультрамелким зерном. Предложено теоретическое объяснение выявленной аномалии свойств поглощения на основе развитой теории структурно-скейлинговых переходов, нового класса критических явлений в неравновесных системах с дефектами, установившей аналогию в механизмах деформирования в поли- и нанокристаллическом состояниях с процессами в критических неравновесных системах. (Институт механики сплошных сред).
 

Установлено, что «нефермижидкостное» поведение металлов с тяжелыми фермионами в окрестности критической точки фазового перехода является универсальным, т.е. не зависит от свойств конкретного сплава, и определяется свойствами ферми-конденсатного квантового фазового перехода. (Отдел математики Коми НЦ).
 

Физика магнитных явлений, магнитные материалы и структуры
 

Разработана математическая модель, описывающая поведение индукционных токов и магнитного поля в плоском канале с проводящей жидкостью, индуцированных нормальным к плоскости слоя переменным магнитным полем от внешнего источника. Полученные уравнения применены для расчета электромагнитных сил в индукционных насосах, разрабатываемых для перекачивания жидких металлов в металлургических устройствах. (Институт механики сплошных сред).
 

Физическое материаловедение и новые материалы
 

Методом термодинамического моделирования исследованы фазовые превращения и растворимость азота в нержавеющей высокопрочной стали, подвергнутой интенсивной пластической деформации (ИПД).  Выявлены особенности формирования фазового состава после термоупрочняющей обработки и влияние ИПД на процесс абсорбции азота воздуха из замкнутого объема. (Институт прикладной механики).
 

Механика жидкости, газа и плазмы. Движение неоднородных и многофазных сред. Нелинейная волновая механика и турбулентность
 

Впервые выполнены прямые лабораторные измерения турбулентных коэффициентов переноса для уравнения индукции крупномасштабного магнитного поля. Измерения проведены в турбулентном нестационарном потоке жидкого галлия, возбуждаемом в быстро вращающемся кольцевом канале после его резкой остановки. Показано, что при возбуждении в канале винтового потока возникает кратковременная генерация магнитного поля – так называемый «альфа-эффект», основанный на взаимодействии градиента турбулентных пульсаций и общей закрутки потока. Измерена также эффективная магнитная вязкость (связанная с эффективной электрической проводимостью среды) турбулентно движущегося жидкого металла. При достигнутых значениях числа Рейнольдса (Re≈1.5·10⁵) отклонение от омической проводимости составило порядка 5%.
 

Успешно проведен эксперимент по изучению процесса диффузии поверхностно-активного вещества (ПАВ) из капли бинарной смеси в окружающую жидкость. Установлено, что в условиях микрогравитации диффузия ПАВ сквозь межфазную границу происходит без развития интенсивной конвекции Марангони.
 

Построена модель, описывающая термомеханическое поведение полимеров с учетом процессов полимеризации и кристаллизации, и разработана система экспериментов для идентификации параметров этой модели. (Институт механики сплошных сред).
 

Физико-химическая газодинамика и процессы при высоких плотностях энергии: горение, детонация, взрыв, кумуляция, взаимодействие движущихся сред с излучением и поверхностью
 

Впервые предложены физико-химическая и математическая модели горения смесевых твердых топлив, позволяющие теоретически исследовать процессы, протекающие при их горении и оптимально определять величину заряда воспламенителя для обеспечения устойчивой работы двигателя. (Институт прикладной механики).
 

Механика деформируемого твердого тела, физическая мезомеханика, связь механических характеристик материалов и конструкций с внутренней структурой, прочность и разрушение, поверхностные эффекты, трибология
 

Показана возможность контроля фазового состава, механических свойств и схемы напряженного состояния при деформировании сталей с метастабильной структурой по результатам измерений магнитных характеристик. Выводы основаны на результатах исследования зависимостей магнитных характеристик сталей со структурой метастабильного аустенита на (Fe-Mn)-, (Fe-Mn-Cr)- и (Fe-Cr-Ni)-основе в процессе деформирования по различным схемам нагружения (статическое и циклическое растяжение, сжатие и кручение). Определены корреляционные зависимости между рядом магнитных параметров с одной стороны и количеством образовавшегося мартенсита деформации, уровнем напряжений, степенью накопленной деформации и поврежденностью материала – с другой стороны. (Рис.1, 2).

Рис. 1. Влияние температуры старения на механические и магнитные свойства и фазовый состав мартенситно-старующий стали ЭП-678, закалённой от 920 ° C в воду.

Рис. 2. Относительные изменения коэрцитивной силы мартенситно-стареющей стали ЭП-678, подвергнутой старению при температуре 500°С как функция приложенного напряжения растяжения, нормированного на величину предела текучести. Исходные значения коэрцитивной силы взяты за 100%.

(Институт машиноведения).
 

Дано теоретическое обоснование возможности управления интенсивностью охлаждения высокотемпературной поверхности твердого тела водяным потоком с диспергированной газовой фазой, образующейся при кавитации в потоке. Полученные решения позволили сформировать подход к построению математической модели процесса управления интенсивностью теплообмена при охлаждении высокотемпературных поверхностей в зависимости от гидродинамических условий и теплофизических свойств охлаждающей среды. (Институт прикладной механики).
 

Комплексные проблемы машиноведения
 

Разработана методика оценки ресурса работы сложной оболочечной конструкции, лежащей на ложементных опорах, работающих при повторяющемся спектре механических нагрузок. Предложенная методика определения циклической долговечности конструкций основана на разработке математической модели напряженного состояния конструкций как набора контактирующих конструктивных элементов, дополнительных нестандартных экспериментах для образцов материала и нелинейного суммирования усталостных повреждений. Методика использована для оценки ресурса работы железнодорожных котлов вагонов-цистерн, выпускаемых на ПО “Уралвагонзавод”. (Институт машиноведения).
 

Управление движущимися объектами. Системы навигации, ориентации и наведения
 

Разработана и обоснована эффективная процедура численного построения оптимального сеточного синтеза — закона управления по принципу обратной связи, разрешающего с любой наперёд заданной точностью и из любого начального состояния задачу оптимального управления предписанной продолжительности на минимум терминально-интегральной платы вдоль траекторий управляемой системы. Допустимы негладкие (липшицевые) входные данные задачи: динамика и плата.
 

Для абстрактной задачи управления с ограничениями асимптотического характера построена конструкция расширения на основе пространства стоуновского представления (в качестве обобщенных элементов используются ультрафильтры алгебры множеств). Установлено, что в случае, когда «асимптотические ограничения» порождаются измеримыми множествами и точные решения отсутствуют (эффект несовместности), допустимые обобщенные элементы исчерпываются свободными ультрафильтрами, т. е. не содержат обычных решений.
 

Исследованы новые свойства внешних параллелепипедозначных оценок множеств достижимости линейных дифференциальных систем. Для систем с устойчивой матрицей найдены критерии, которые для введенных ранее касающихся оценок и оценок с постоянной матрицей ориентации гарантируют их ограниченность либо неограниченность на бесконечном промежутке времени. Для стационарных систем получена система обыкновенных дифференциальных уравнений и алгебраических соотношений, определяющая такие оценки с постоянными матрицами ориентации, которые не обладают полугрупповым свойством, но являются касающимися, а также ограниченными в случае устойчивости матрицы системы.
 

Рассмотрена задача управления в условиях неопределенности для системы, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением, и терминального показателя качества при заданном временном интервале. Предложена конструкция оценки стратегии управления, следующая критерию минимаксного риска (сожаления) Сэвиджа. Для одного класса управляемых систем доказано существование стратегии, наилучшей с точки зрения указанной оценки и не зависящей явно от реализации помехи.
 

Исследован метод ломаных Эйлера как инструмент приближения траекторий дифференциальных систем, удовлетворяющих условиям Каратеодори. Предложено в условиях Каратеодори вместо диаметра разбиения, используемого при непрерывной правой части, ввести метрику на множестве разбиений заданного промежутка времени. Близость разбиения (в этой метрике) гарантирует близость построенной ломаной Эйлера к какому-либо решению системы. (Институт математики и механики).
 

Для параболических уравнений, подверженных воздействию внешних возмущений, рассмотрена задача нахождения дифференциальных уравнений оценивания возмущений по данным измерений. В предположении, что производимые измерения решений этого уравнения неточны, указан алгоритм вывода регуляризованных дифференциальных уравнений, управления в которых, формируемые по принципу обратной связи, служат приближениями неизвестных входных возмущений. Предложенный алгоритм является модификацией известного алгоритма академика М.М.Лаврентьева, основанной на идеологии динамического обращения академика Ю.С.Осипова. (Институт математики и механики совместно с Институтом математики СО РАН).
 

Получено решение задачи синтеза асимптотически субоптимального робастного управления линейным объектом с дискретным временем при неизвестных верхних границах внешнего ограниченного возмущения и операторных возмущений по выходу и управлению. (Отдел математики Коми НЦ).
 

Искусственный интеллект, системы распознавания образов, принятие решений при многих критериях
 

Разработаны параллельные алгоритмы решения задач линейного программирования большой размерности с сильно разреженными матрицами ограничений, использующие модифицированные функции Лагранжа и обобщенный метод Ньютона. Алгоритмы основаны на замене исходной задачи конечной серией задач более простых, но зависящих от некоторого векторного параметра. В ходе их решения параметр подбирается таким образом, чтобы решение упрощенной задачи совпало с решением исходной задачи. Применение обобщенного метода Ньютона позволило широко использовать унифицированные матричные операции и стандартные пакеты линейной алгебры и привело к высокой эффективности конечного алгоритма. Предложенные алгоритмы реализованы в стандарте OpenMP для вычислительной системы PrimePower. (Институт математики и механики).
 

Архитектура, системные решения и программное обеспечение информационно-вычислительных комплексов новых поколений
 

Построена и реализована программная модель среды, включающая логические подсистемы: геометрию, неструктурированную сетку с расчетными данными, разделенную сетку, распределенную сетку. Каждая из подсистем состоит из компонентов объектно-ориентированного программного интерфейса, ввода-вывода и визуализации. Соответствующие алгоритмы позволяют параллельно строить сетки, оптимизировать и адаптировать сетку в процессе решения в соответствии с особенностями конкретной задачи или геометрии и декомпозировать их для параллельных вычислений. (Институт прикладной механики).
 

Супрамолекулярные и наноразмерные самоорганизующиеся системы для использования в современных высоких технологиях
 

Методами математического моделирования исследованы фундаментальные закономерности процессов поглощения, хранения и десорбции молекулярного водорода новыми типами динамических наносистем с перестраиваемой наноструктурой – нанокапсулами, состоящими из наноконтейнеров в виде нанотрубок и запирающих элементов в виде фуллеренов (нейтральных и заряженных). Установлены термодинамические параметры среды и электрического поля, необходимые для устойчивой работы данных наносистем.
 

Установлено, что лазерный пиролиз трансформаторного масла сопровождается существенным изменением его спектра оптического пропускания и приводит к образованию наноразмерных углеродных частиц квазисферической формы, имеющих сложную и оригинальную структуру. Показано, что продукты лазерного пиролиза трансформаторного масла обладают свойством оптического ограничения в видимой и инфракрасной областях оптического спектра. (Институт прикладной механики).
 

Отчет о научной и научно-организационной
деятельности за 2007 г. Часть 1.